时间序列分析法

时间序列的构成要素

  • 现象所属的时间
  • 现象在各时间上的指标数值

时间序列分析的目的

  • 描述现象在过去时间的状态
  • 分析现象发展变化的规律性
  • 根据现象的过去行为预测其未来行为
  • 将相互联系的时间序列进行对比,研究有关现象之间的联系程度

时间序列的影响因素

  • 长期趋势
  • 季节变动
  • 循环变动
  • 不规则变动

时间序列的因素分析任务就是要正确确定时间序列性质,对构成时间序列各种因素加以分解,再分别测定其对时间序列变动的影响。

 

长期趋势:(t)

  • 现象在较长时期内持续发展变化的一种总态势
  • 由影响时间序列的根本性因素作用形成
  • 是时间序列中最基本的构成要素
  • 可分为上升趋势、下降趋势、水平趋势或分为:线性趋势和非线性趋势

从我们客厅日活的角度理解就是,有一个长期的增幅趋势,这个增幅可能随着时间降低。

 

季节变动:(s)

  • 通常表现为现象在一年内随着季节更替而发生的较有规律的增减变化,如由旺季和淡季之分
  • 是一种周期性的变化
  • 形成原因-有自然因素,也有社会因素

 

循环变动:(c)

这种因素的影响使现象呈现出以若干年(周、月、季)为一周期、涨落相间、扩展与紧缩、波峰与波谷相交替的波动。若经济危机就是循环变动,每一循环周期都要经历危机、萧条、复苏、高涨四个阶段。

  • 周期长度不同
  • 模型识别的难易程度不同
  • 形成原因不同

从日活理解就是,工作日和非工作日会有这种上升、下降的交替运动。

 

不规则变动(i)

包括随机变动和突然变动。

随机变动-现象受到各种偶然因素影响而呈现出方向不定、时起时伏、时大时小的变动。

突然变动-战争、自然灾害或其他社会因素等意外事件引起的变动。影响作用无法相互抵消,影响幅度很大。

一般只讨论有随机波动而不含突然异常变动的情况。随机变动与时间无关,是一种无规律的变动,难以测定,一般作为误差项处理。

 

按对四种因素的影响方式不同,可形成乘法模型加法模型两种。

 

乘法模型是假定四个因素对现象发展的影响是相互的,以长期趋势的绝对量为基础,其余成分均以比率表示。在现实中普遍运用的是乘法模型。

乘法模型:YT×S×C×I

式中Y为动态数列各发展水平, T、S、C、I分别表示四种变动因素。

  • 只有长期趋势是与Y同计量单位的绝对量;其余因素均为以长期趋势为基础的比率,通常以百分数表示。
  • 季节变动和循环变动的数值在各自的一个周期内平均为1(or 100%);不规则变动的数值从长时间来看,其平均也应为1(or 100%)。
  • 乘法模型中,各因素的分解是根据除法进行(如:Y / T = SCI)。

 

加法模型是假定四种因素的影响是独立的分别起作用,各成分都用绝对量表示。

加法模型:YTSCI

 

  长期趋势分析主要是指长期趋势的测定,采用一定的方法对时间序列进行修匀,使修匀后的数列排除季节变动、循环变动和无规则变动因素的影响,显示出现象变动的基本趋势,作为预测的依据。

测定长期趋势的方法:移动平均法,趋势方程拟合法(数学模型方法)

 

移动平均法

 

移动平均是选择一定的平均项数(常用 N 表示),采用逐项递移的方法对原时间序列计算一系列序时平均值;这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则变动和其他变动,揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。

算法:

如果n是奇数,直接用除法就好。a1 ‘ =  (a1+a2+a3)/3

如果n是偶数,还需要二项移动平均。

pic1

移动平均法的特点

  • 移动平均对数列具有平滑修匀作用,平均项数(N)越大,对数列的平滑修匀作用越强;
  • 移动平均的数值应放在所平均时间的中间位置;
  • 当N 为奇数,只需一次移动平均;
  • 当N为偶数,需再进行二项移动平均即移正平均(或中心化);

移动间隔的长度应长短适中

  • 若数列包含周期性变动,为了消除周期变动而只反映T(长期趋势),应以周期长度作为移动间隔的长度,即: N=周期长度
  • 若是季度资料,应采用4项移动平均
  • 若为月份资料,应采用12项移动平均

总结:

移动平均法可以呈现出现象的长期趋势,但本身不能进行外推预测。只有当T为水平趋势时,才可用移动平均值作为最近一期的预测值。

 

趋势方程拟合法

 

当序列存在明显趋势时,采用趋势外推预测,利用数学中的某种曲线方程对原数列中的趋势进行拟合,以消除其他变动,揭示数列长期趋势,即该方法在数列中只包含T(趋势)、I(随机因素)中进行长期趋势的测定时应用较为广泛。

 

  • 直线趋势的测定
  • 抛物线趋势的测定
  • 指数曲线趋势的测定

 

趋势方程的选择

  • 定性分析:利用有关理论知识、结合现象变化的性质特点进行判断;
  • 绘制观测值散点图或时序图(折线图):这些图形常能很直观的表现出数列的趋势类型,是最常用也是比较有效的一种方法。
  • 根据数列的数据特征加以判断:若各个时期的变化量大体相同,即各时期的逐期增长量接近于一个常数,则趋势线近似于一条直线,这时拟和线性趋势方程;若各个时期的二级增长量大体相等,即各个时期的逐期增长量的增长量近似于一个常数,可以配合抛物线方程。

 

线性模型法

根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为:

pic2

实际运用中,为了计算方便,通常采用坐标平移的方法以时间序列的中点作为坐标原点,使得

则:

pic3

季节变动的测定

  • 季节变动
    • 现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动;
    • 各年变化强度大体相同、且每年重现;
    • 扩展概念:对一年内由于社会、政治、经济、自然因素影响,形成的以一定时期为周期的有规则的重复变动;
  • 时间序列的又一个主要构成要素。
  • 测定目的
    • 确定现象过去的季节变化规律,帮助决策
    • 对未来现象季节变动作出预测
    • 消除时间序列中的季节因素

 

测定季节变动的基本方法

 

同期平均法

  • 假定 :Y=a.S.I 即假定时间序列为水平趋势(T=a,为常数) 且无循环波动(I=1)。
  • 根据原时间序列通过对同期数据求简单平均的方法来分离出季节变动因素,计算季节比率 S (或称为季节指数)。也可称为原始资料平均法 。

计算季节比例的步骤:

pic4

(可能大于1,如旺季)

 

趋势剔除法

假定:Y=T.S.I

基本思想:先将数列中的长期趋势予以消除,再计算

步骤:

  • 计算长期趋势;常用移动平均值作为T
  • 从原数列中提出趋势值,得季节变动和不规则变动相对数-Y/T  = S.I
  • 消除不规则变动I,得季节比率S
  • 调整季节比率,使季节比例的平均值为1。否则,计算一个调整系数(=1/季节比率的平均值),各期的季节比例乘以该调整系数,既得调整后的季节比率。

 

复合序列预测步骤

 

  • 确定并分离季节成分
    • 计算季节指数,以确定时间序列中的季节成分
    • 用每一个观测值除以相应的季节指数,以消除季节性
  • 建立预测模型病进行预测
    • 对消除季节成分的序列建立适当的预测模型,并根据这一模型进行预测
  • 计算最后的预测值
    • 用预测值乘以响应的季节指数,得到最终的预测值

季节因素分离后的序列反映了在没有季节因素影响的情况下时间序列的变化形态

 

循环变动和不规则变动的测定

 

循环变动分析一般要求有多年的时间序列资料通常采用两种方法:即剩余法和直接法。

  • 剩余法:是从动态数列中分别消除长期趋势、季节变动和不规则变动,其剩余的结果便是循环变动。按照关系式:Y=T·S·C·I,分别求得季节变动和长期趋势值,并把两者消除。
  • 直接法:将每年各季或各月的数值与上年同期进行对比,即求出年距发展速度来消除长期趋势和季节变动。