剖析IForest:用于金融风控中的反欺诈算法

 

iForest用于挖掘异常数据,如网络安全中的攻击检测和流量异常分析。我们主要使用它在风控场景中做欺诈行为挖掘,算法对内存要求很低,且处理速度很快,其时间复杂度也是线性的。可以很好的处理高维数据和大数据,并且也可以作为在线异常检测。
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时间序列分析法

时间序列的构成要素

  • 现象所属的时间
  • 现象在各时间上的指标数值

时间序列分析的目的

  • 描述现象在过去时间的状态
  • 分析现象发展变化的规律性
  • 根据现象的过去行为预测其未来行为
  • 将相互联系的时间序列进行对比,研究有关现象之间的联系程度

时间序列的影响因素

  • 长期趋势
  • 季节变动
  • 循环变动
  • 不规则变动

时间序列的因素分析任务就是要正确确定时间序列性质,对构成时间序列各种因素加以分解,再分别测定其对时间序列变动的影响。

 

长期趋势:(t)

  • 现象在较长时期内持续发展变化的一种总态势
  • 由影响时间序列的根本性因素作用形成
  • 是时间序列中最基本的构成要素
  • 可分为上升趋势、下降趋势、水平趋势或分为:线性趋势和非线性趋势

从我们客厅日活的角度理解就是,有一个长期的增幅趋势,这个增幅可能随着时间降低。

 

季节变动:(s)

  • 通常表现为现象在一年内随着季节更替而发生的较有规律的增减变化,如由旺季和淡季之分
  • 是一种周期性的变化
  • 形成原因-有自然因素,也有社会因素

 

循环变动:(c)

这种因素的影响使现象呈现出以若干年(周、月、季)为一周期、涨落相间、扩展与紧缩、波峰与波谷相交替的波动。若经济危机就是循环变动,每一循环周期都要经历危机、萧条、复苏、高涨四个阶段。

  • 周期长度不同
  • 模型识别的难易程度不同
  • 形成原因不同

从日活理解就是,工作日和非工作日会有这种上升、下降的交替运动。

 

不规则变动(i)

包括随机变动和突然变动。

随机变动-现象受到各种偶然因素影响而呈现出方向不定、时起时伏、时大时小的变动。

突然变动-战争、自然灾害或其他社会因素等意外事件引起的变动。影响作用无法相互抵消,影响幅度很大。

一般只讨论有随机波动而不含突然异常变动的情况。随机变动与时间无关,是一种无规律的变动,难以测定,一般作为误差项处理。

 

按对四种因素的影响方式不同,可形成乘法模型加法模型两种。

 

乘法模型是假定四个因素对现象发展的影响是相互的,以长期趋势的绝对量为基础,其余成分均以比率表示。在现实中普遍运用的是乘法模型。

乘法模型:YT×S×C×I

式中Y为动态数列各发展水平, T、S、C、I分别表示四种变动因素。

  • 只有长期趋势是与Y同计量单位的绝对量;其余因素均为以长期趋势为基础的比率,通常以百分数表示。
  • 季节变动和循环变动的数值在各自的一个周期内平均为1(or 100%);不规则变动的数值从长时间来看,其平均也应为1(or 100%)。
  • 乘法模型中,各因素的分解是根据除法进行(如:Y / T = SCI)。

 

加法模型是假定四种因素的影响是独立的分别起作用,各成分都用绝对量表示。

加法模型:YTSCI

 

  长期趋势分析主要是指长期趋势的测定,采用一定的方法对时间序列进行修匀,使修匀后的数列排除季节变动、循环变动和无规则变动因素的影响,显示出现象变动的基本趋势,作为预测的依据。

测定长期趋势的方法:移动平均法,趋势方程拟合法(数学模型方法)

 

移动平均法

 

移动平均是选择一定的平均项数(常用 N 表示),采用逐项递移的方法对原时间序列计算一系列序时平均值;这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则变动和其他变动,揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。

算法:

如果n是奇数,直接用除法就好。a1 ‘ =  (a1+a2+a3)/3

如果n是偶数,还需要二项移动平均。

pic1

移动平均法的特点

  • 移动平均对数列具有平滑修匀作用,平均项数(N)越大,对数列的平滑修匀作用越强;
  • 移动平均的数值应放在所平均时间的中间位置;
  • 当N 为奇数,只需一次移动平均;
  • 当N为偶数,需再进行二项移动平均即移正平均(或中心化);

移动间隔的长度应长短适中

  • 若数列包含周期性变动,为了消除周期变动而只反映T(长期趋势),应以周期长度作为移动间隔的长度,即: N=周期长度
  • 若是季度资料,应采用4项移动平均
  • 若为月份资料,应采用12项移动平均

总结:

移动平均法可以呈现出现象的长期趋势,但本身不能进行外推预测。只有当T为水平趋势时,才可用移动平均值作为最近一期的预测值。

 

趋势方程拟合法

 

当序列存在明显趋势时,采用趋势外推预测,利用数学中的某种曲线方程对原数列中的趋势进行拟合,以消除其他变动,揭示数列长期趋势,即该方法在数列中只包含T(趋势)、I(随机因素)中进行长期趋势的测定时应用较为广泛。

 

  • 直线趋势的测定
  • 抛物线趋势的测定
  • 指数曲线趋势的测定

 

趋势方程的选择

  • 定性分析:利用有关理论知识、结合现象变化的性质特点进行判断;
  • 绘制观测值散点图或时序图(折线图):这些图形常能很直观的表现出数列的趋势类型,是最常用也是比较有效的一种方法。
  • 根据数列的数据特征加以判断:若各个时期的变化量大体相同,即各时期的逐期增长量接近于一个常数,则趋势线近似于一条直线,这时拟和线性趋势方程;若各个时期的二级增长量大体相等,即各个时期的逐期增长量的增长量近似于一个常数,可以配合抛物线方程。

 

线性模型法

根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为:

pic2

实际运用中,为了计算方便,通常采用坐标平移的方法以时间序列的中点作为坐标原点,使得

则:

pic3

季节变动的测定

  • 季节变动
    • 现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动;
    • 各年变化强度大体相同、且每年重现;
    • 扩展概念:对一年内由于社会、政治、经济、自然因素影响,形成的以一定时期为周期的有规则的重复变动;
  • 时间序列的又一个主要构成要素。
  • 测定目的
    • 确定现象过去的季节变化规律,帮助决策
    • 对未来现象季节变动作出预测
    • 消除时间序列中的季节因素

 

测定季节变动的基本方法

 

同期平均法

  • 假定 :Y=a.S.I 即假定时间序列为水平趋势(T=a,为常数) 且无循环波动(I=1)。
  • 根据原时间序列通过对同期数据求简单平均的方法来分离出季节变动因素,计算季节比率 S (或称为季节指数)。也可称为原始资料平均法 。

计算季节比例的步骤:

pic4

(可能大于1,如旺季)

 

趋势剔除法

假定:Y=T.S.I

基本思想:先将数列中的长期趋势予以消除,再计算

步骤:

  • 计算长期趋势;常用移动平均值作为T
  • 从原数列中提出趋势值,得季节变动和不规则变动相对数-Y/T  = S.I
  • 消除不规则变动I,得季节比率S
  • 调整季节比率,使季节比例的平均值为1。否则,计算一个调整系数(=1/季节比率的平均值),各期的季节比例乘以该调整系数,既得调整后的季节比率。

 

复合序列预测步骤

 

  • 确定并分离季节成分
    • 计算季节指数,以确定时间序列中的季节成分
    • 用每一个观测值除以相应的季节指数,以消除季节性
  • 建立预测模型病进行预测
    • 对消除季节成分的序列建立适当的预测模型,并根据这一模型进行预测
  • 计算最后的预测值
    • 用预测值乘以响应的季节指数,得到最终的预测值

季节因素分离后的序列反映了在没有季节因素影响的情况下时间序列的变化形态

 

循环变动和不规则变动的测定

 

循环变动分析一般要求有多年的时间序列资料通常采用两种方法:即剩余法和直接法。

  • 剩余法:是从动态数列中分别消除长期趋势、季节变动和不规则变动,其剩余的结果便是循环变动。按照关系式:Y=T·S·C·I,分别求得季节变动和长期趋势值,并把两者消除。
  • 直接法:将每年各季或各月的数值与上年同期进行对比,即求出年距发展速度来消除长期趋势和季节变动。

用数据说话(一)数据指标

最近复习统计学的东西比较多,需要记录下来,与同事一起分享工程中的体会。

统计数据首先需要经过预处理和整理,以便人们对数据分布的类型和特点有了一个大概的了解。但这种了解并不能帮助我们准确地描述出统计数据的分布,还需要更深入的分析,找到能反映数据分布特征的各个代表值。对统计数据分布的特征和规律,可以从三个方面进行测度和描述:一是数据集位置的测度,反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度;二是数据集离散程度,反映各数据远离其中心值的趋势;三是数据集的峰度与偏度,反映数据分布的形状。这三个方面从不同侧面反映了数据分布特征。

data

集中趋势

众数:在统计分布上具有明显集中趋势点的数值,代表数据的一般水平(众数可以不存在或多于一个)。

简单的说,就是一组数据中占比例最多的那个数。

中数:把一组数从小到大排个序。正中间的那个数(数字个数为奇数)

 

离散程度

极差、方差、标准差

极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数(可以反应偏离平均值的程度)。标准差就是方差的算术平方根。

方差的计算公式为:

fc

 

 

分布的形状

fb

重点概念

偏度

  1. 数据分布偏斜程度的测度
  2. 偏度系数=0为对称分布
  3. 偏度系数> 0为右偏分布
  4. 偏度系数< 0为左偏分布
  5.  计算公式为pd

峰度(一般在spss类的软件中,会先减去3)

  1.  数据分布扁平程度的测度
  2. 峰度系数=3扁平程度适中
  3. 偏态系数<3为扁平分布
  4. 偏态系数>3为尖峰分布
  5.  计算公式为fd

 

我将分享的ppt供下载: 数据说话(一)

协同过滤,Collaborative Filtering

终于可以做做想做的事情啦,打算把基于item的协同过滤用在第一期推荐算法里面, 现先过一遍协调过滤的算法。

什么是协同过滤

协同过滤是利用集体智慧的一个典型方法。要理解什么是协同过滤,一个简单的问题就能够说明,如果你现在想看个电影,但你不知道具体看哪部,你会怎么做?大部分的人会问问周围的朋友,看看最近有什么好看的电影推荐,而我们一般更倾向于从口味比较类似的朋友那里得到推荐。这就是协同过滤的核心思想。

2 协同过滤的实现

要实现协同过滤的推荐算法,要进行以下三个步骤:

收集数据——找到相似用户和物品——进行推荐

收集数据

这里的数据指的都是用户的历史行为数据,比如用户的播放记录,收藏行为等等,这些都可以用来作为数据供推荐算法使用,服务于推荐算法。需要特别指出的在于,不同的数据准确性不同,粒度也不同,在使用时需要考虑到噪音所带来的影响。

下表是ibm给的一个比较常用的推荐引擎的参考指标:

表 1 用户行为和用户偏好
用户行为 类型 特征 作用
评分 显式 整数量化的偏好,可能的取值是 [0, n];n 一般取值为 5 或者是 10 通过用户对物品的评分,可以精确的得到用户的偏好
投票 显式 布尔量化的偏好,取值是 0 或 1 通过用户对物品的投票,可以较精确的得到用户的偏好
转发 显式 布尔量化的偏好,取值是 0 或 1 通过用户对物品的投票,可以精确的得到用户的偏好。
如果是站内,同时可以推理得到被转发人的偏好(不精确)
保存书签 显示 布尔量化的偏好,取值是 0 或 1 通过用户对物品的投票,可以精确的得到用户的偏好。
标记标签
(Tag)
显示 一些单词,需要对单词进行分析,得到偏好 通过分析用户的标签,可以得到用户对项目的理解,同时可以分析出用户的情感:喜欢还是讨厌
评论 显示 一段文字,需要进行文本分析,得到偏好 通过分析用户的评论,可以得到用户的情感:喜欢还是讨厌
点击流
( 查看 )
隐式 一组用户的点击,用户对物品感兴趣,需要进行分析,得到偏好 用户的点击一定程度上反映了用户的注意力,所以它也可以从一定程度上反映用户的喜好。
页面停留时间 隐式 一组时间信息,噪音大,需要进行去噪,分析,得到偏好 用户的页面停留时间一定程度上反映了用户的注意力和喜好,但噪音偏大,不好利用。
购买 隐式 布尔量化的偏好,取值是 0 或 1 用户的购买是很明确的说明这个项目它感兴趣。

以上列举的用户行为都是比较通用的,推荐引擎设计人员可以根据自己应用的特点添加特殊的用户行为,并用他们表示用户对物品的喜好。

在一般应用中,我们提取的用户行为一般都多于一种,关于如何组合这些不同的用户行为,基本上有以下两种方式:

  • 将不同的行为分组:一般可以分为“查看”和“购买”等等,然后基于不同的行为,计算不同的用户 / 物品相似度。类似于当当网或者 Amazon 给出的“购买了该图书的人还购买了 …”,“查看了图书的人还查看了 …”
  • 根据不同行为反映用户喜好的程度将它们进行加权,得到用户对于物品的总体喜好。一般来说,显式的用户反馈比隐式的权值大,但比较稀疏,毕竟进行显示反馈的用户是少数;同时相对于“查看”,“购买”行为反映用户喜好的程度更大,但这也因应用而异。

收集了用户行为数据,我们还需要对数据进行一定的预处理,其中最核心的工作就是:减噪和归一化。

  • 减噪:用户行为数据是用户在使用应用过程中产生的,它可能存在大量的噪音和用户的误操作,我们可以通过经典的数据挖掘算法过滤掉行为数据中的噪音,这样可以是我们的分析更加精确。
  • 归一化:如前面讲到的,在计算用户对物品的喜好程度时,可能需要对不同的行为数据进行加权。但可以想象,不同行为的数据取值可能相差很大,比如,用户的查看数据必然比购买数据大的多,如何将各个行为的数据统一在一个相同的取值范围中,从而使得加权求和得到的总体喜好更加精确,就需要我们进行归一化处理。最简单的归一化处理,就是将各类数据除以此类中的最大值,以保证归一化后的数据取值在 [0,1] 范围中。

进行的预处理后,根据不同应用的行为分析方法,可以选择分组或者加权处理,之后我们可以得到一个用户偏好的二维矩阵,一维是用户列表,另一维是物品列表,值是用户对物品的偏好,一般是 [0,1] 或者 [-1, 1] 的浮点数值。

 

找到相似用户和物品

这一步也很简单,其实就是计算用户间以及物品间的相似度。以下是几种计算相似度的方法:

  • 欧几里德距离(Euclidean Distance)

最初用于计算欧几里德空间中两个点的距离,假设 x,y 是 n 维空间的两个点,它们之间的欧几里德距离是:

13115033_4hDQ

可以看出,当 n=2 时,欧几里德距离就是平面上两个点的距离。

当用欧几里德距离表示相似度,一般采用以下公式进行转换:距离越小,相似度越大

13115034_im6Y

  • 皮尔逊相关系数(Pearson Correlation Coefficient)

皮尔逊相关系数一般用于计算两个定距变量间联系的紧密程度,它的取值在 [-1,+1] 之间。

13115034_QiXA

sx, sy是 x 和 y 的样品标准偏差。

  • Cosine 相似度(Cosine Similarity)

Cosine 相似度被广泛应用于计算文档数据的相似度:

13115035_Gxj6

  • Tanimoto 系数(Tanimoto Coefficient)

Tanimoto 系数也称为 Jaccard 系数,是 Cosine 相似度的扩展,也多用于计算文档数据的相似度:

13115035_toIe

相似邻居的计算

介绍完相似度的计算方法,下面我们看看如何根据相似度找到用户 – 物品的邻居,常用的挑选邻居的原则可以分为两类:图 1 给出了二维平面空间上点集的示意图。

  • 固定数量的邻居:K-neighborhoods 或者 Fix-size neighborhoods

不论邻居的“远近”,只取最近的 K 个,作为其邻居。如图 1 中的 A,假设要计算点 1 的 5- 邻居,那么根据点之间的距离,我们取最近的 5 个点,分别是点 2,点 3,点 4,点 7 和点 5。但很明显我们可以看出,这种方法对于孤立点的计算效果不好,因为要取固定个数的邻居,当它附近没有足够多比较相似的点,就被迫取一些不太相似的点作为邻居,这样就影响了邻居相似的程度,比如图 1 中,点 1 和点 5 其实并不是很相似。

  • 基于相似度门槛的邻居:Threshold-based neighborhoods

与计算固定数量的邻居的原则不同,基于相似度门槛的邻居计算是对邻居的远近进行最大值的限制,落在以当前点为中心,距离为 K 的区域中的所有点都作为当前点的邻居,这种方法计算得到的邻居个数不确定,但相似度不会出现较大的误差。如图 1 中的 B,从点 1 出发,计算相似度在 K 内的邻居,得到点 2,点 3,点 4 和点 7,这种方法计算出的邻居的相似度程度比前一种优,尤其是对孤立点的处理。

13115035_pXHo

计算推荐

 

基于用户的 CF(User CF)

基于用户的 CF 的基本思想相当简单,基于用户对物品的偏好找到相邻邻居用户,然后将邻居用户喜欢的推荐给当前用户。计算上,就是将一个用户对所有物品的偏好作为一个向量来计算用户之间的相似度,找到 K 邻居后,根据邻居的相似度权重以及他们对物品的偏好,预测当前用户没有偏好的未涉及物品,计算得到一个排序的物品列表作为推荐。图 2 给出了一个例子,对于用户 A,根据用户的历史偏好,这里只计算得到一个邻居 – 用户 C,然后将用户 C 喜欢的物品 D 推荐给用户 A。

13115036_UyUM

 

基于物品的 CF(Item CF)

基于物品的 CF 的原理和基于用户的 CF 类似,只是在计算邻居时采用物品本身,而不是从用户的角度,即基于用户对物品的偏好找到相似的物品,然后根据用户的历史偏好,推荐相似的物品给他。从计算的角度看,就是将所有用户对某个物品的偏好作为一个向量来计算物品之间的相似度,得到物品的相似物品后,根据用户历史的偏好预测当前用户还没有表示偏好的物品,计算得到一个排序的物品列表作为推荐。图 3 给出了一个例子,对于物品 A,根据所有用户的历史偏好,喜欢物品 A 的用户都喜欢物品 C,得出物品 A 和物品 C 比较相似,而用户 C 喜欢物品 A,那么可以推断出用户 C 可能也喜欢物品 C。

13115037_vWV9

User CF vs. Item CF

前面介绍了 User CF 和 Item CF 的基本原理,下面我们分几个不同的角度深入看看它们各自的优缺点和适用场景:

  • 计算复杂度

Item CF 和 User CF 是基于协同过滤推荐的两个最基本的算法,User CF 是很早以前就提出来了,Item CF 是从 Amazon 的论文和专利发表之后(2001 年左右)开始流行,大家都觉得 Item CF 从性能和复杂度上比 User CF 更优,其中的一个主要原因就是对于一个在线网站,用户的数量往往大大超过物品的数量,同时物品的数据相对稳定,因此计算物品的相似度不但计算量较小,同时也不必频繁更新。但我们往往忽略了这种情况只适应于提供商品的电子商务网站,对于新闻,博客或者微内容的推荐系统,情况往往是相反的,物品的数量是海量的,同时也是更新频繁的,所以单从复杂度的角度,这两个算法在不同的系统中各有优势,推荐引擎的设计者需要根据自己应用的特点选择更加合适的算法。

  • 适用场景

在非社交网络的网站中,内容内在的联系是很重要的推荐原则,它比基于相似用户的推荐原则更加有效。比如在购书网站上,当你看一本书的时候,推荐引擎会给你推荐相关的书籍,这个推荐的重要性远远超过了网站首页对该用户的综合推荐。可以看到,在这种情况下,Item CF 的推荐成为了引导用户浏览的重要手段。同时 Item CF 便于为推荐做出解释,在一个非社交网络的网站中,给某个用户推荐一本书,同时给出的解释是某某和你有相似兴趣的人也看了这本书,这很难让用户信服,因为用户可能根本不认识那个人;但如果解释说是因为这本书和你以前看的某本书相似,用户可能就觉得合理而采纳了此推荐。

相反的,在现今很流行的社交网络站点中,User CF 是一个更不错的选择,User CF 加上社会网络信息,可以增加用户对推荐解释的信服程度。

  • 推荐多样性和精度

研究推荐引擎的学者们在相同的数据集合上分别用 User CF 和 Item CF 计算推荐结果,发现推荐列表中,只有 50% 是一样的,还有 50% 完全不同。但是这两个算法确有相似的精度,所以可以说,这两个算法是很互补的。

关于推荐的多样性,有两种度量方法:

第一种度量方法是从单个用户的角度度量,就是说给定一个用户,查看系统给出的推荐列表是否多样,也就是要比较推荐列表中的物品之间两两的相似度,不难想到,对这种度量方法,Item CF 的多样性显然不如 User CF 的好,因为 Item CF 的推荐就是和以前看的东西最相似的。

第二种度量方法是考虑系统的多样性,也被称为覆盖率 (Coverage),它是指一个推荐系统是否能够提供给所有用户丰富的选择。在这种指标下,Item CF 的多样性要远远好于 User CF, 因为 User CF 总是倾向于推荐热门的,从另一个侧面看,也就是说,Item CF 的推荐有很好的新颖性,很擅长推荐长尾里的物品。所以,尽管大多数情况,Item CF 的精度略小于 User CF, 但如果考虑多样性,Item CF 却比 User CF 好很多。

如果你对推荐的多样性还心存疑惑,那么下面我们再举个实例看看 User CF 和 Item CF 的多样性到底有什么差别。首先,假设每个用户兴趣爱好都是广泛的,喜欢好几个领域的东西,不过每个用户肯定也有一个主要的领域,对这个领域会比其他领域更加关心。给定一个用户,假设他喜欢 3 个领域 A,B,C,A 是他喜欢的主要领域,这个时候我们来看 User CF 和 Item CF 倾向于做出什么推荐:如果用 User CF, 它会将 A,B,C 三个领域中比较热门的东西推荐给用户;而如果用 ItemCF,它会基本上只推荐 A 领域的东西给用户。所以我们看到因为 User CF 只推荐热门的,所以它在推荐长尾里项目方面的能力不足;而 Item CF 只推荐 A 领域给用户,这样他有限的推荐列表中就可能包含了一定数量的不热门的长尾物品,同时 Item CF 的推荐对这个用户而言,显然多样性不足。但是对整个系统而言,因为不同的用户的主要兴趣点不同,所以系统的覆盖率会比较好。

从上面的分析,可以很清晰的看到,这两种推荐都有其合理性,但都不是最好的选择,因此他们的精度也会有损失。其实对这类系统的最好选择是,如果系统给这个用户推荐 30 个物品,既不是每个领域挑选 10 个最热门的给他,也不是推荐 30 个 A 领域的给他,而是比如推荐 15 个 A 领域的给他,剩下的 15 个从 B,C 中选择。所以结合 User CF 和 Item CF 是最优的选择,结合的基本原则就是当采用 Item CF 导致系统对个人推荐的多样性不足时,我们通过加入 User CF 增加个人推荐的多样性,从而提高精度,而当因为采用 User CF 而使系统的整体多样性不足时,我们可以通过加入 Item CF 增加整体的多样性,同样同样可以提高推荐的精度。

  • 用户对推荐算法的适应度

前面我们大部分都是从推荐引擎的角度考虑哪个算法更优,但其实我们更多的应该考虑作为推荐引擎的最终使用者 — 应用用户对推荐算法的适应度。

对于 User CF,推荐的原则是假设用户会喜欢那些和他有相同喜好的用户喜欢的东西,但如果一个用户没有相同喜好的朋友,那 User CF 的算法的效果就会很差,所以一个用户对的 CF 算法的适应度是和他有多少共同喜好用户成正比的。

Item CF 算法也有一个基本假设,就是用户会喜欢和他以前喜欢的东西相似的东西,那么我们可以计算一个用户喜欢的物品的自相似度。一个用户喜欢物品的自相似度大,就说明他喜欢的东西都是比较相似的,也就是说他比较符合 Item CF 方法的基本假设,那么他对 Item CF 的适应度自然比较好;反之,如果自相似度小,就说明这个用户的喜好习惯并不满足 Item CF 方法的基本假设,那么对于这种用户,用 Item CF 方法做出好的推荐的可能性非常低。

主成分分析(Principal factor analysis)

昨天回顾了特征值和奇异值的定义及应用意义,现在来看看与之非常相关的主成分分析,

真实的训练数据总是存在各种各样的问题:比如,拿到一个样本,特征非常多,而样例特别少,这样用回归去直接拟合非常困难,容易过度拟合。比如北京的房价:假设房子的特征是(大小、位置、朝向、是否学区房、建造年代、是否二手、层数、所在层数),搞了这么多特征,结果只有不到十个房子的样例。要拟合房子特征->房价的这么多特征,就会造成过度拟合。

PCA的思想是将n维特征映射到k维上(k<n),这k维是全新的正交特征。这k维特征称为主元,是重新构造出来的k维特征,而不是简单地从n维特征中去除其余n-k维特征。

pca计算过程

以下在matlab中进行:

假设data的两列数据分别是两个词在一个文档中的tf-idf值

>> data = [2.5 2.4;0.5 0.7;2.2 2.9;1.9 2.2;3.1 3.0; 2.3 2.7; 2 1.6;1 1.1;1.5 1.6;1.1 0.9];

假设第一列是x, 第二列是y。 我们有10个样例,两个特征,分别为x与y。

第一步分别求x和y的平均值,然后对于所有的样例,都减去对应的均值。(因为这里两个特征都是tf-idf值,所以没有做方差归一化,如果是两个不同的量䋄,那么方差归一化是必不可少的哈。(即减了平均值之后要除以标准差)

 

计算x与y的平均值

ux = sum(data(:,1))/size(data,1)

uy = sum(data(:,2))/size(data,1)

>> adjustdata(:,1) = data(:,1)-ux;
>> adjustdata(:,2) = data(:,2)-uy;

第二步,求特征协方差矩阵

在matlab中,有一个特别好用的 cov(x,y)即可:

cov(data(:,1),data(:,2))

ans =

0.6166 0.6154
0.6154 0.7166

对角线上分别是x和y的方差,非对角线上是协方差。协方差大于0表示x和y若有一个增,另一个也增;小于0表示一个增,一个减;协方差为0时,两者独立。协方差绝对值越大,两者对彼此的影响越大,反之越小。

第三步,求协方差的特征值和特征向量,得到

 

>> [covv,covd] = eig(covdata)

covv =

-0.7352 0.6779
0.6779 0.7352
covd =

0.0491
1.2840

第四步,将特征值按照从大到小的顺序排序,选择其中最大的k个,然后将其对应的k个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵。

这里特征值只有两个,我们选择其中最大的那个,这里是1.28402771,对应的特征向量是

(0.6779; 0.7352)

eigv = covv(:,2);

第五步,将样本点投影到选取的特征向量上。假设样例数为m,特征数为n,减去均值后的样本矩阵为DataAdjust(m*n),协方差矩阵是n*n,选取的k个特征向量组成的矩阵为EigenVectors(n*k)。那么投影后的数据FinalData为

201104182110426374

 

finnaldata = adjustdata*eigv;

finnaldata =

0.8280
-1.7776
0.9922
0.2742
1.6758
0.9129
-0.0991
-1.1446
-0.4380
-1.2238

这样,就将原始样例的n维特征变成了k维,这k维就是原始特征在k维上的投影。(即2维变成了1维)

上面的数据可以认为是这两个词特征融合为一个新的特征,该特征基本上代表了这两个特征。

上述过程用图描述:

 

201104182110441716

正号表示预处理后的样本点,斜着的两条线就分别是正交的特征向量(由于协方差矩阵是对称的,因此其特征向量正交),最后一步的矩阵乘法就是将原始样本点分别往特征向量对应的轴上做投影。

 

最小方差理论解释pca

整个PCA过程貌似及其简单,就是求协方差的特征值和特征向量,然后做数据转换。但是有没有觉得很神奇,为什么求协方差的特征向量就是最理想的k维向量?其背后隐藏的意义是什么?整个PCA的意义是什么?

看下面5个点(假设都做了归一化)

1

 

下面将样本投影到某一维上,这里用一条过原点的直线表示(前面处理的过程找到特征向量,实质特征向量的方向可以说是让样本量最集中分布的方向)。

2

在信号处理中认为信号具有较大的方差,噪声有较小的方差,信噪比就是信号与噪声的方差比,越大越好。如前面的图,样本在横轴上的投影方差较大,在纵轴上的投影方差较小,那么认为纵轴上的投影是由噪声引起的。

因此我们认为,最好的k维特征是将n维样本点转换为k维后,每一维上的样本方差都很大。

而要使样本方差大,试想样本要通过新的特征向量进行投影,那么就要投影值够大的,即λ够大的,所以我们取了前k个λ最大的相应的特征向量。

 

矩阵特征值分解与奇异值分解

特征值分解

 

数学教材定义: 设A是n阶方阵,如果存在 λ 和n维非零向量X,使 AX ,则 λ 称为方阵A的一个特征值,X为方阵A对应于或属于特征值 λ 的一个特征向量。

通过这个式子,我们再次理解,方阵A乘了x之后,对x产生的作用是增强或者减弱这个向量(λ 为一个数)。矩阵在特征向量所指的方向上具有对向量产生恒定的变换作用:增强(或减弱)特征向量的作用。进一步的,如果矩阵持续地叠代作用于向量,那么特征向量的就会凸现出来。

若(x1,x2,…,xn)可逆,则左右两边都求逆,则方阵A可直接通过特征值和特征向量进行唯一的表示,令

Q=(x1,x2,…,xn)

Σ = diag(λ1, λ2, …, λn)

则 A = Q*Σ*Q^(-1) ,该表达式称为方阵的特征值分解,这样方阵A就被特征值和特征向量唯一表示。

 

一个变换方阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基。所谓基,可以理解为坐标系的轴。我们平常用到的大多是直角坐标系,在线性代数中可以把这个坐标系扭曲、拉伸、旋转,称为基变换。我们可以按需求去设定基,但是基的轴之间必须是线性无关的,也就是保证坐标系的不同轴不要指向同一个方向或可以被别的轴组合而成,否则的话原来的空间就“撑”不起来了。从线性空间的角度看,在一个定义了内积的线性空间里,对一个N阶对称方阵进行特征分解,就是产生了该空间的N个标准正交基,然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基,而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大,说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大,功率越大,信息量越多。不过,特征值分解也有很多的局限,比如说变换的矩阵必须是方阵。

在机器学习特征提取中,意思就是最大特征值对应的特征向量方向上包含最多的信息量,如果某几个特征值很小,说明这几个方向信息量很小,可以用来降维,也就是删除小特征值对应方向的数据,只保留大特征值方向对应的数据,这样做以后数据量减小,但有用信息量变化不大,PCA降维就是基于这种思路。

奇异值分解

特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法,但是它只适用于方阵。而在现实的世界中,我们看到的大部分矩阵都不是方阵,比如说有M个学生,每个学生有N科成绩,这样形成的一个M * N的矩阵就可能不是方阵,我们怎样才能像描述特征值一样描述这样一般矩阵呢的重要特征呢?奇异值分解就是用来干这个事的,奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法。我们有必要先说说特征值和奇异值之间的关系。

对于特征值分解公式, ATA 是方阵,我们求 ATA 的特征值,即  ATA*X =λ*X  ,此时求得的特征值就对应奇异值的平方,求得的特征向量v称为右奇异向量,另外还可以得到:

还可以得到:

C57394A8-DE33-4924-AF09-1FD3E90BCACD

所求的ui就是左奇异向量, σi 就是奇异值。已有人对SVD的几何机理做了清晰的分析,非常受用,给个链接:

http://blog.sciencenet.cn/blog-696950-699432.html 。